如图,分别以△ABC的边AB,AC向形外作等边△ABD和等边△ACE,连接CD,BE交于点P

第一个问题：
∵△ABD、△ACE都是等边三角形,∴AD＝AB、AC＝AE、∠DAB＝∠CAE,
∴∠DAB＋∠BAC＝∠BAC＋∠CAE,∴∠ADC＝∠BAE.
由AD＝AB、AC＝AE、∠ADC＝∠BAE,得：△DAC≌△BAE,∴CD＝BE.
第二个问题：此时△DCB∽△BCP.证明如下：
由第一个问题的解答过程,有：△DAC≌△BAE,∴∠ADP＝∠ABP、∠ACP＝∠AEP,
∴A、D、B、P共圆,A、E、C、P共圆,∴∠APD＝∠ABD、∠APE＝∠ACE.
∵△ABD、△ACE都是等边三角形,∴∠ABD＝∠ACE＝60°,
∴∠DPE＝∠APD＋∠APE＝∠ABD＋∠ACE＝60°＋60°＝120°,∴∠BPC＝120°.
∵∠BAC＝90°、∠ACB＝30°,∴∠ABC＝60°,∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝60°＋60°＝120°.
由∠DBC＝∠BPC＝120°,∠DCB＝∠BCP,得：△DCB∽△BPC.
第三个问题：
过D作DE⊥CB交CB的延长线于E.
∵∠BAC＝90°、∠ACB＝30°,∴AB＝BC/2.
∵△ABD是等边三角形,∴BD＝AB＝BC/2.
∵∠DBC＝120°,∴∠DBE＝60°,而∠DEB＝90°,
∴BE＝BD/2＝BC/4、DE＝（√3/2）BD＝（√3/4）BC.
∴CE＝BC＋BE＝BC＋BC/4＝（5/4）BC.
∴CD＝√（DE^2＋CE^2）＝√［（3/16）BC^2＋（25/16）BC^2］＝（√7/2）BC,
∴BC/CD＝2/√7,∴（BC/CD）^2＝4/7.
由第二个问题的结论,有：△DCB∽△BPC,∴S(△DCB)∶S(△BPC)＝（BC/CD）^2＝4/7.

只能证明第一问：
因为△ABD和△ACE等边，所以DA=BA,AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°,∠DAC=∠BAE.根据边角边全等定理，△DAC和△BAE全等，所以 CD=BE。
第二问没明白

∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACD=∠AEB，
∠DPE=∠BEC+∠ECP=∠BEC+∠ECA+∠ACD=120°，
∴∠BPD=60°．
故选C．