（2001•天津）已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上

解题思路：（1）先根据AP的长，求出PQ的值，然后看看正方形与矩形是否重合，若重合求出重合部分的线段的长，然后根据矩形的面积计算公式进行求解即可．
（2）要分四种情况进行讨论：
①当N在D点或D点左侧时，当正方形PQMN的边MN与矩形EDBF的边ED重合时，利用相似三角形的性质可得出x=[8/3]，即0＜x≤[8/3]时，此时正方形与矩形没有重合，因此y=0；
②当N在D点右侧，而P点在D点左侧或与D点重合时，即[8/3]＜x≤4，此时正方形与矩形重合的面积应该是以DN为长，NM为宽的矩形，DN=PN-PD=PN-（AD-AP）=x-（4-[1/2]x）=[3/2]x-4．而NM=PQ=[1/2]x，因此重合部分的面积应该是y=（[3/2]x-4）×[1/2]x=[3/4]x²-2x；
③当P在D点右侧，而N点在B点左侧或与B点重合时，即4＜x≤[16/3]时，此时正方形重合部分的面积应该是以正方形边长为长，DE为宽的矩形的面积，PN=[1/2]x，DE=2，因此此时重合部分的面积是y=[1/2]x×2=x；
④当P在B左侧时，而N点在AB延长线上时，即[16/3]＜x＜8时，此时重合部分的面积应该是以DE长为宽，PA长为长的矩形的面积．BP=AB-AP=8-x，BF=DE=2，因此此时重合部分的面积应该是y=（8-x）×2=16-2x．
（3）将y=2代入（2）的式子中，看看求出的x哪个符合条件即可．

（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，
∴tanA=[BC/AB]=[1/2]，
∵D是AB中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AD=BD=4cm，DE=2cm，
∴Rt△APQ中，AP=3cm，
∴PQ=AP•tanA=3×[1/2]=1.5cm，
∴DN=AN-AD=AP+PN-AD=3+1.5-4=0.5，
∴重合部分的面积应该是y=DN×MN=1.5×0.5=0.75cm²；

（2）当0＜x≤[8/3]，y=0；
当[8/3]＜x≤4，y=[3/4x2−2x，
当4＜x≤
16
3]，y=x；
当[16/3]＜x＜8，y=16-2x；

（3）当[8/3]＜x≤4时，如果y=2，2=[3/4x2−2x，解得x=
4+2
10
3]或x=
4−2
10
3（舍去）；
当4＜x≤[16/3]时，如果y=2，x=2，也不符合题意，
当[16/3]＜x＜8时，如果y=2，2=16-2x，解得x=7，因此当AP=7cm时，y=2cm²．
∴当x=7cm或x=
4+2
10
3cm时，y=2cm²．

点评：
本题考点： 勾股定理；三角形中位线定理；正方形的性质．

考点点评： 本题主要考查了直角三角形的性质，正方形的性质，中位线定理以及解直角三角形的应用等知识点，要注意（2）（3）中，正方形的位置不同时，函数解析式是不同的，要分类讨论，不要漏解．