求使这样的集合族存在的最大正整数n.

答案871。分两步：证明n<=871；构造n=871的例子。 记S为所有A_i的并集。假设S中的元素a在各个A_i中出现次数最多，记这个次数为k。 记U为含有a的那些集合A_i的并集。按条件2，我们有 |U|=29k+1. (*) 记V=SU. 设m为配对(x,A)的个数，其中A是某个A_i，x是A的一个元素。 一方面，根据条件1，我们有m=30n. 另一方面，那些属于U的元素x对计数m的贡献至多是k|U|。 现在考虑那些属于V的元素x，也就是那些所属集合不含a的元素x。 记x所在的那个集合是A，那么A与每一个含a的元素交于一个非a的元素， 从而A中恰有30-k个元素属于V。也就是说， 每一个属于V的元素x所在的集合对计数m的贡献恰为30-k。 由于不含a的集合恰有n-k个，所以那些属于V的元素x对计数m的贡献恰为(30-k)(n-k)。 于是我们得到两种方法算出来的同一个计数m，即30n<=k|U|+(30-k)(n-k). 把(*)代入上式，化简即得n<=871. 构造：设 a_{i,k} (0<=i<=29, 1<=k<=29) 是30*29=870个两两互异的正数。 为方便起见，对任意 i 和任意 k, 记a_{i+30,k}=a_{i,k+29}=a_{i,k}. 也就是说， 元素a_{i,k}的第一个脚标 i 取自模30的集合Z_{30}, 第二个脚标 k 取自模29的集合Z_{29}. 对每个0<=i<=29，令 A_{0,i} = {0} union {a_{i,j} : 1<=j<=29}. 对每个1<=i<=29和每个1<=k<=29，令 A_{i,k} = a_{0,i} union {a_{j,ij+k} : 1<=j<=29}. 现在我们证明上面这30+29*29=871个集合满足题设条件。 字数超了，证明该构造的正确性见评价。