已知函数f（x）=[1/3]ax3-[1/4x2+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′（1）=0且f′（x）

解题思路：（1）求出函数的导数，由f（0）=0得到d=0，由f′（1）=0，得到a+c=[1/2]，再由f′（x）≥0 在R上恒成立，即
ax²-[1/2]x+c≥0恒成立，讨论a=0，a≠0，结合判别式小于0，即可得到a，c的值；
（2）假设存在m，使g（x）=f′（x）-mx=[1/4]x²-（[1/2]+m）x+[1/4]在区间[1，2]上有最小值-5，讨论①当2m+1≤1即m≤0②当1＜2m+1＜2，即0＜m＜[1/2]③当2m+1≥2，即m≥[1/2]，考虑对称轴和区间的关系，由单调性确定最小值，解方程即可得到．

（1）∵f（x）=
1
3]ax³-[1/4x2+cx+d，f（0）=0，∴d=0，
∵f′（x）=ax²-
1
2]x+c，f′（1）=0，∴a+c=[1/2]，
∵f′（x）≥0 在R上恒成立，即ax²-[1/2]x+c≥0恒成立，
a=0，不恒成立；a≠0，有a＞0，且[1/4]-4ac≤0，即[1/4]-4a（[1/2]-a）≤0，
即有（4a-1）²≤0，则a=[1/4]，
则a=c=[1/4]，d=0；
（2）假设存在m，使g（x）=f′（x）-mx=[1/4]x²-（[1/2]+m）x+[1/4]在区间[1，2]上有最小值-5
由g（x）=f′（x）-mx=[1/4]x²-（[1/2]+m）x+[1/4]的图象开口向上且对称轴x=2m+1．
①当2m+1≤1即m≤0，g（x）在[1，2]上递增，则g（1）=-5，即[1/4]-（[1/2]+m）+[1/4]=-5，
解得m=5与m≤0矛盾，则m≠5；
②当1＜2m+1＜2，即0＜m＜[1/2]，g（x）在[1，2m+1]上递减，[2m+1，2]上递增，
则g（2m+1）=-5，即[1/4]（2m+1）2-（[1/2]+m）（2m+1）+[1/4]=-5，解得m=-[1/2]±

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数的运用，考查二次不等式的恒成立问题，以及二次函数在闭区间上的最值问题，注意结合对称轴，运用单调性求解，考分类讨论的思想方法，属于中档题．