已知f（x）=xlnx．（1）若不等式c＜f（x）恒成立，求c的取值范围；（2）令f0（x）=f′（x），f1（x）=f

（1）函数的定义域是（0，+∞）
由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
当x∈（0，[1/e]）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（[1/e]，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为：f（[1/e]）=-[1/e]．
不等式c＜f（x）成立，∴c＜f（x）_min，∴c＜−
1
e…（5分）
（2）①f₀（x）=f'（x）=1+lnx，
∴f1(x)＝f′0(x)＝
1
x，f2(x)＝f′1(x)＝−
2
x2，f3(x)＝f′2(x)＝
2•3
x3＝
3！
x3，f4(x)＝f′3(x)＝
−2•3•4
x4＝−
4！
x4，…（6分）
猜想fn(x)＝(−1)n+1•
(n−1)!
xn…（8分）
证明：（1°）n=1时，f1(x)＝(1+lnx)′＝x−1＝
1
x，∴猜想成立；…（9分）
（2°）设n=k时结论成立即：fk(x)＝(−1)k+1•
(k−1)!
xk；
n=k+1时有：fk+1(x)＝f′k(x)＝[(−1)k+1•(k−1)!x−k]′＝(−1)k+1(k−1)!•(−k)x−k−1=(−1)(k+1)+1•
k!
xk+1
∴n=k+1时结论成立；（11分），
综上由（1°）（2°）可知fn(x)＝(−1)n+1•
(n−1)!
xn对任意正整数成立

点评：
本题考点： 数学归纳法；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查函数的导数判断函数的单调性最值的求法，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．