已知函数f（x）=xlnx，是否存在最小正常数m，使得a＞m时，对任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）•ex恒成立

存在，
不等式f（a+x）＜f（a）e^x可转化为f（a+x）＜f（a）e^（a+x-a），
即
f(a+x)
ea+x＜
f(a)
ea，当x＞0时恒成立，
设g（x）=
f(x)
ex，
则g′（x）=[lnx+1−xlnx
ex，
令h（x）=lnx+1-xlnx，h′（x）=
1/x]-lnx-1，h″（x）=-[1
x2-
1/x]＜0，（x＞0）
故h'（x）在（0，+∞）上单减，又h'（1）=0，
∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
又h（1）=1，h（2）=1-ln2＞0，h（3）=1-ln3＜0，
故x＞3时，g'（x）＜0，即g（x）在（3，+∞）上单减，
故存在m满足条件，m应为方程lnx+1=xlnx的解，数值在（2，3）中．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查不等式恒成立的判断，利用条件将不等式进行转换，构造函数是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．