flllp
幼苗
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(Ⅱ)先证5f(
3p+2q
5
)≤3f(p)+2f(q)
即证5
3p+2q
5
•ln
3p+2q
5
≤3plnp+2qlnq
即证3pln
3p+2q
5p
≤2qln
5q
3p+2q
,(6分)
令t=
q
p
,∵p>0,q>0,∴t>0,
即证ln
3+2t
5
≤
2t
3
•ln
5t
3+2t
令h(t)=ln
3+2t
5
−
2t
3
•ln
5t
3+2t
,
则h(t)=ln
3+2t
5
−
2
3
tln(5t)+
2t
3
ln(3+2t),
∴h′(t)=
5
3+2t
•
2
5
−
2
3
ln(5t)−
2t
3
•
5
5t
+
2
3
ln(3+2t)+
2t
3
•
2
3+2t
=
2
3
ln
3+2t
5t
,(8分)
①当3+2t>5t即0<t<1时,ln
3+2t
5t
>0,即h'(t)>0
h(t)在(0,1)上递增,∴h(t)<h(1)=0,(9分)
②当3+2t<5t,即t>1时,ln
3+2t
5t
<0,即h′(t)<0,
h(t)在(1,+∞)上递减,
∴h(t)<h(1)=0,(10分)
③当3+2t=5t,即t=1时,h(t)=h(1)=0,
综合①②③知h(t)≤0,
即ln
3+2t
5
≤
2t
3
•ln
5t
3+2t
,(11分)
即5f(
2p+3q
5
)≤3f(p)+2f(q),
∵5•(
3p+2q
5
)2-(3p2+2q2)=
−6(p−q)2
5
≤0,
∴5•(
3p+2q
5
)2≤3p2+2q2,
综上,得5g(
3p+2q
5
)≤3g(p)+2g(q).(12分)你是合肥的吗
1年前
3