圆锥曲线是怎样被发现的?又如何证明?

【发现历史】
对圆锥曲线的研究大致经历了如下几个阶段.
一．最初发现
早在公元前5世纪 ~ 公元前4世纪,古希腊巧辩学派的数学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角”三大不可能问题.当初,他们并不知道这是不可能问题,所以努力想解决这些它们.虽然他们没有能解决这三大问题,但是却获得了不少意外的成果.据说,圆锥曲线的被发现,就是从这里开始的.
古希腊数学家希波克拉底（ Hippocrates of Chios 公元前460）,在解决“立方倍积”问题时,发现圆锥曲线：
a x = x y = y 2a → x 2 =ay, y 2 =2ax, xy=2 a 2 → x 3 =2 a 3
另外一位古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus 公元前375 ~ 公元前325）,用平面截不同的圆锥,发现圆锥曲线.如图5-26
关于圆锥曲线的被发现还有一说,根据数学史家诺伊格鲍尔（Neugebauer,Otto 1898~ ?）的意见,圆锥曲线可能是在制作日晷时被发现的.可惜,关于日晷的发明和制作在古代就已失传,所以不可详考.
二．奠基工作
在古希腊,有许多数学家都研究过圆锥曲线.譬如,老阿里斯泰库斯（The Elder Aristacus 约公元前4世纪）、欧几里得、阿基米德、厄拉多塞（Eratosthenes 公元前274~公元前194）和阿波罗尼（Apollonius 公元前260 ~ 公元前190）等.其中,阿波罗尼的《圆锥曲线》是最杰出的,它与欧几里得的《几何原本》同被誉为古希腊几何登峰造极之作.
《圆锥曲线》8篇,共487个命题.
第 1 篇,圆锥曲线的定义、性质；
第 2 篇,双曲线渐近线的作法、性质,由此引入共轭双曲线,圆锥曲线切线的作法；
第 3 篇,圆锥曲线与其切线、直径所成图形的面积,极点极线的调和性,焦点的性质；
第 4 篇,极点极线的其它性质,各种位置的圆锥曲线可能有的交点数；
第 5 篇,从特定点到圆锥曲线所能作的最长线和最短线；
第 6 篇,全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形；
第 7 篇,有心圆锥曲线两共轭直径；
第 8 篇,失传,也许是关于如何定出有心圆锥曲线的共轭直径,使其长度的某些函数具有给定的值.
《圆锥曲线》现在的版本中,前4卷是从12~13世纪的希腊手稿本复制的,其后的3卷是从1290年阿拉伯译本转译的,第8卷已失传,现为17世纪的哈雷根据帕普斯书中的启示而搞出来的一个代替稿.阿波罗尼总结了前人的成就,提出了自己的创见,在《圆锥曲线》中,将圆锥曲线的性质收集殆尽,以至以致后代学者在千余年间对圆锥曲线的性质几乎没有插足的余地.以下,我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的基础性的工作.
关于圆锥曲线的定义及性质的讨论,如图5-27.

在古希腊,阿波罗尼之后,帕普斯（Pappus 约 4 世纪）对圆锥曲线也作了重要的工作,即在《数学汇编》证明：与定点及定直线的距离成定比例的点的轨迹是圆锥曲线.这是阿波罗尼的《圆锥曲线》中所没有的.总而言之,在古希腊对圆锥曲线的研究就有一个十分清楚的轮廓,只是由于没有坐标系统,所以在表达形式上存在着不容忽视的缺陷.
三．长期停滞
在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的 13 个世纪里,整个数学界对圆锥曲线的研究没有什么进展.公元 11 世纪,中亚数学家海雅姆（Khaym,Omar 1048 ~ 1131）利用圆锥曲线来解三次方程,而对圆锥曲线本身并没有深入的研究.详见4．2．2 例8.
四．有所突破
16世纪,有两件事促使人们对圆锥曲线做进一步的研究.一是德国数学家开普勒继承了哥白尼的日心说,揭示出行星按椭圆轨道绕太阳运行,是圆锥曲线摆脱圆锥而成为自然界中物体运动的普遍形式.一是意大利物理学家伽利略得出斜抛运动的轨道是抛物线,突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古希腊人的证明方法太缺乏一般性,几乎每个定理都是要想出一个特殊的证明方法.于是,对圆锥曲线的处理方法开始有了变化.
1579年,蒙蒂（Monte ,Guidobaldo del 1545 ~1607）采用焦点、定长的方式,定义了椭圆,改变以往平面截圆锥的定义方式；开普勒关于几何图形连续变换的思想,为圆锥曲线的统一定义奠定了基础.
五．别开生面
17世纪,随着射影几何的肇始,本来为画家提供帮助的投射和截影的方法,与圆锥曲线有着天然的联系,也被用来研究圆锥曲线,并得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理.
在这方面,法国的三位数学家笛沙格、帕斯卡和德•拉•希尔的工作成果,开辟了研究圆锥曲线的别开生面的方向.
六．分析描述
解析几何的创立,使人们对圆锥曲线的认识进入了一个现阶段.这时,对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼,又不同于笛沙格,而是朝着解析方法的方向发展.即建立坐标系,得出圆锥曲线的方程,再利用方程研究圆锥曲线的性质,以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标,也可以求得对圆锥曲线研究的高度的概括与统一.在这方面,笛卡儿、费马和沃利斯（Wallis,John 1616 ~ 1703）分别做出了非常重要的贡献.
七．系统总结
18世纪,牛顿、伯努力和赫尔曼等先后提出不同的坐标系,尤其影响深刻的是极坐标系,这些工作促进了坐标系的系统化进程.随着坐标系的系统化,关于圆锥曲线性质研究的结论也逐渐可以系统化起来.在这方面,著名瑞士数学家欧拉（Euler,Leonhard 1707 ~ 1783）作出了重要贡献.

欧拉1745年发表的《分析引论》,被誉为解析几何发展史上的重要著作.系统地研究了圆锥曲线的各种情形,并证明通过坐标变换,一定可以把任何圆锥曲线化为某种标准形式.详见5．1．3 .
欧拉之后,三维解析几何的研究蓬勃开展,由圆锥曲线导出了圆锥曲面.至此,关于圆锥曲线的理论并被广泛应用,也就是我们现在所能看到的情景.
【《圆锥曲线论》】
《圆锥曲线论》是希腊数学家阿波罗尼奥斯的重要著作．作者除了综合前人的成就之外,还包含有独到的创见材料,而且写得巧妙、灵活,组织得非常出色．在几何发展史上是一个巍然屹立的丰碑,是古希腊几何的登峰造极之作．有人认为它可与欧几里得的《几何原本》在欧氏几何中的地位相媲美．阿波罗尼奥斯也因此被列入亚历山大前期三大数学家之一（另外两位是欧几里得和阿基米德）．
《圆锥曲线论》共8卷．其中最具创造性的是证明了抛物线、双曲线和椭圆这三种圆锥曲线都可以由同一种圆锥体截得,用现代术语来说,即将三种曲线的方程归到一个坐标系中,为圆锥曲线的现代研究开创了新的局面．
《圆锥曲线论》所涉及到的范围几乎囊括了圆锥曲线性质的所有方面,并且其中以见坐标制思想的端倪,作者以圆锥底面直径为横坐标,过顶点的垂线作为纵坐标,给后世以很大的启发．直到十七世纪之前,人们在这一领域几乎失去了再研究的余地．
圆锥曲线主要的发展时期应该在於古希腊的亚历山大时期(300B.C.-641A.D.),当时正值希腊数学的黄金时期,而代表人物是名垂千古的三大几何学家----欧几里得(Euclid),阿基米德(Archimedes)及阿波罗尼奥斯(Appollon)其中阿波罗尼奥斯的主要成就是建立了完美的圆锥曲线论,总结了前人在这方面的工作,再加上自己的研究成果,撰成《圆锥曲线论》八大卷,将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人无插足的余地.
《圆锥曲线论》是一部经典巨著,可以说是代表了希腊几何的最高水平.书中证明了三种圆锥曲线都可以由同一圆锥体截取而得,改变了过去要用三种不同的锥体截取的方法,继而给出抛物线,椭圆,双曲线,正交弦等名称,取代了过去的直角圆锥曲线,钝角圆锥曲线和锐角圆锥曲线的叫法.
估计证明过程得去这本书里找了.