已知abc≠0，证明：四个数(a+b+c)3abc、(b−c−a)3abc、(c−a−b)3abc、(a−b−c)3ab

解题思路：整体考虑，求出这四个数的和，只需证明它们的和大于等于24即可，将

(a+b+c) 3

abc

，

(c−a−b) 3

abc

与

(b−c−a) 3

abc

，

(a−b−c) 3

abc

结合运用立方差公式进行通分，化简得出四个数的和为24，再从每一项都小于6，分析得出假设不成立，原命题正确．

因为
(a+b+c) 3
abc+
(b−c−a) 3
abc+
(c−a−b) 3
abc+
(a−b−c) 3
abc
=
[(a+b+c) 3+(b−c−a) 3]
abc+
[(c−a−b) 3+(a−b−c) 3]
abc
=
2b(3a 2+b 2+3c 2+6ac)
abc-
2b(3a 2+b 2+3c 2−6ac)
abc
=[24abc/abc]
=24．①
若
(a+b+c) 3
abc＜6，
(b−c−a) 3
abc＜6，
(c−a−b) 3
abc＜6，
(a−b−c) 3
abc＜6．
则它们的和必小于24，这与①矛盾，
故四个加数中至少有一个不小于6．

点评：
本题考点： 分式的等式证明．

考点点评： 此题主要考查了分式的等式证明，证明结论四个数中至少有一个不小于6，可以从四个数都小于6，得出矛盾，从而得出原命题的正确性．