设函数f（x）=ex（e为自然对数的底数），gn(x)＝1+x+x22!+x33!+…+xnn!（n∈N*）．

解题思路：（1）设φ1(x)＝f(x)−g1(x)＝ex−x−1，可得函数φ₁（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，在x=0处取得唯一极小值，从而可得对任意实数x均有 φ₁（x）≥φ₁（0）=0，即可得到结论；
（2）当x＞0时，f（x）＞g_n（x），用数学归纳法证明，第2步证明的关键是证明φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x）在（0，+∞）上为增函数；
（3）先证对任意正整数n，g_n（1）＜e，再证对任意正整数n，1+(

2

2

)1+(

2

3

)2+(

2

4

)3+…+(

2

n+1

)n≤gn(1)=1+1+

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

，利用分析法、再利用数学归纳法和基本不等式法可以证明结论．

（1）证明：设φ1(x)＝f(x)−g1(x)＝ex−x−1，
所以φ1′(x)＝ex−1．…（1分）
当x＜0时，φ1′(x)＜0，当x=0时，φ1′(x)＝0，当x＞0时，φ1′(x)＞0．
即函数φ₁（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，在x=0处取得唯一极小值，…（2分）
因为φ₁（0）=0，所以对任意实数x均有 φ₁（x）≥φ₁（0）=0．
即f（x）-g₁（x）≥0，
所以f（x）≥g₁（x）．…（3分）
（2）当x＞0时，f（x）＞g_n（x）．…（4分）
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由（1）知f（x）＞g₁（x）．
②假设当n=k（k∈N^*）时，对任意x＞0均有f（x）＞g_k（x），…（5分）
令φ_k（x）=f（x）-g_k（x），φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x），
因为对任意的正实数x，φk+1′(x)＝f′(x)−g′k+1(x)＝f(x)−gk(x)，
由归纳假设知，φk+1′(x)＝f(x)−gk(x)＞0．…（6分）
即φ_k+1（x）=f（x）-g_k+1（x）在（0，+∞）上为增函数，亦即φ_k+1（x）＞φ_k+1（0），
因为φ_k+1（0）=0，所以φ_k+1（x）＞0．
从而对任意x＞0，有f（x）-g_k+1（x）＞0．
即对任意x＞0，有f（x）＞g_k+1（x）．
这就是说，当n=k+1时，对任意x＞0，也有f（x）＞g_k+1（x）．
由①、②知，当x＞0时，都有f（x）＞g_n（x）．…（8分）
（3）证明：先证对任意正整数n，g_n（1）＜e．
由（2）知，当x＞0时，对任意正整数n，都有f（x）＞g_n（x）．
令x=1，得g_n（1）＜f（1）=e．
所以g_n（1）＜e．…（9分）
再证对任意正整数n，1+(
2
2)1+(
2
3)2+(
2
4)3+…+(
2
n+1)n≤gn(1)=1+1+
1
2!+
1
3!+…+
1
n!．
要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式(
2
n+1)n≤
1
n!成立．
即要证明对任意正整数n，不等式n!≤(
n+1
2)n（*）成立．…（10分）
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：
方法1（数学归纳法）：
①当n=1时，1!≤(
1+1
2)1成立，所以不等式（*）成立．
②假设当n=k（k∈N^*）时，不等式（*）成立，
即k!≤(
k+1
2)k．…（11分）
则(k+1)!＝(k+1)k!≤(k+1)(
k+1
2)k＝2(
k+1
2)k+1．
因为
(
k+2
2)k+1
(
k+1
2)k+1＝(
k+2
k+1)k+1＝(1+
1
k+1)k+1＝
C0k+1+
C1k+1
1
k+1+…+
Ck+1k+1(
1
k+1)k+1≥2，…（12分）
所以(k+1)!≤2(
k+1
2)k+1≤(
k+2
2)k+1．…（13分）
这说明当n=k+1时，不等式（*）也成立．
由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数n，不等式1+(
2
2)1+(
2
3)2+(
2
4)3+…+(
2
n+1)n≤gn(1)＜e成立．
…（14分）
方法2（基本不等式法）：
因为
n•1≤
n+1
2，…（11分）
(n−1)•2≤
n+1
2，
…，
1•n≤
n+1
2，
将以上n个不等式相乘，得n!≤(
n+1
2)n．…（13分）
所以对任意正整数n，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数n，不等式1+(
2
2)1+(
2
3)2+(
2
4)3+…+(
2
n+1)n≤gn(1)＜e成立．
…（14分）

点评：
本题考点： 数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；二项式系数的性质．

考点点评： 本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力．