设A 是 N阶可逆矩阵,将A 的第I行与第J行对换得到B ,证明B 为可逆矩阵.并指出A 和B,A^* 和B^*间的关系

设A 是 N阶可逆矩阵,将A 的第I行与第J行对换得到B ,证明B 为可逆矩阵.并指出A 和B,A^* 和B^*间的关系
希望老师给我讲解一下.

wangwuff 1年前已收到1个回答举报

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由已知, B=E(i,j)A, 其中E(i,j)是单位矩阵交换i,j行得到的初等矩阵
则E(i,j)可逆, 且E(i,j)^-1=E(i,j).
因为 |B| = |E(i,j)||A| = -|A|≠0, 所以B可逆.
且 B*=(E(i,j)A)*=A*E(i,j)*=A*|E(i,j)|E(i,j)^-1=-A*E(i,j).
所以交换A*的第i,j列,再乘-1, 即为B*.

1年前

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