设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,记Q= ( A α)（上下两个括号和在一起的构成一个矩阵） (αT 1)

我用 det 表示行列式,adj 表示伴随
先把第 1 题搞搞明白
利用矩阵乘法
[A,α; α^T,1] = [A-αα^T,α; 0,1] [I,0; α^T,1]
及行列式的乘积性质即可
对于更一般一点的问题,假定 A 可逆,那么
[A,B; C,D] = [I,0; CA^{-1},I] [A,B; 0,D-CA^{-1}B]
所以 det[A,B; C,D] = det(A) det(D-CA^{-1}B)
这就是 Gauss 消去法的块形式,D-CA^{-1}B 叫做 Schur 补
类似地,D 可逆时 det[A,B; C,D] = det(D) det(A-BD^{-1}C)
第1题就是这样做出来的
对于第 2 题,在 A 可逆的前提下
det [A,α; α^T,1] = det(A) (1-α^TA^{-1}α) = det(A) - α^T(det(A)A^{-1})α = det(A) - α^T adj(A) α
先要把上面这些完全搞懂,下面的部分如果掌握不了还情有可原
最后再看第 2 题中 A 不可逆的情况
一种方法是取 t 使得 A+tI 可逆,然后用现成结论
det [A+tI,α; α^T,1] = det(A+tI) - α^T adj(A+tI) α
左右两端都是关于 t 的多项式,其常数项必须相等,也就是 t=0 时相等,这就是结论
当然,你也可以不分两步做,直接对 Q 的最后一列展开来证明结论
det [A,α; α^T,1] = det [A,0; α^T,1] + det [A,α; α^T,0]
前一项就是 det(A),后一项按最后一列展开,然后每个展开项继续按最后一行展开,把 α^T adj(A) α 乘开来对比一下就行了