（本小题满分13分）如图，已知三棱柱 的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由 沿棱柱侧面经过棱 到点 的最短路线长为 ,

平面A ₁ BD内存在过点D的直线与平面ABC平行．

(1)如图，将侧面BB ₁ C ₁ C绕棱CC ₁ 旋转120°，
使其与侧面AA ₁ C ₁ C在同一平面上，点B运动到
点B ₂ 的位置，连接A ₁ B ₂ ，则A ₁ B ₂ 就是由点B沿
棱柱侧面经过棱CC ₁ 到点A ₁ 的最短路线．
设棱柱的棱长为 ，则B ₂ C=AC=AA ₁ ＝ ,
∵CD∥AA _{1 　，} ∴ 为 的中点．………2分
在Rt△A ₁ AB ₂ 中，由勾股定理得 ，
即 　，解得 ，∵ ，
∴ ． ………5分
(2)设A ₁ B与AB ₁ 的交点为O,连结BB ₂ ,OD，则 ．
∵ 平面2 ， 平面2 ，∴ 平面2 ，
即在平面A ₁ BD内存在过点D的直线与平面ABC平行． ………9分
(3)连结AD,B ₁ D∵ ≌ ≌ ≌ ，
∴ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ 平面A ₁ ABB ₁ ，又∵ 平面A ₁ BD．
∴平面A ₁ BD⊥平面A ₁ ABB ₁ ．………13分