tan20°tan30°+tan40°tan30°+tan40°tan20°=

根据tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
得到tan60°=（tan20°+tan40°）/（1-tan40°tan20°）；
所以tan20°+tan40°=tan60°*（1-tan40°tan20°）
所以tan20°tan30°+tan40°tan30°+tan40°tan20°
=tan30°（tan20°+tan40°）+tan40°tan20°
=tan30°*tan60°*（1-tan40°tan20°）+tan40°tan20°
=1-tan40°tan20°+tan40°tan20°
=1

1