在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y= 1 4 x 2 +1，点C的坐标为（-4，0），平行四边形OABC的顶点

（1）∵OABC是平行四边形，∴AB ∥ OC，且AB=OC=4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，
∴A，B的横坐标分别是2和-2，
代入y=
1
4 x 2 +1得，A（2，2），B（-2，2），
∴M（0，2），（2分）

（2）①过点Q作QH⊥x轴，连接MC．
∵CM ∥ PQ，
∴∠QPC=∠MCO，
∵∠COM=∠PHQ=90°，
∴△HQP ∽ △OMC，
设垂足为H，则HQ=y，HP=x-t，
由△HQP ∽ △OMC，得：
y
2 =
x-t
4 ，即：t=x-2y，
∵Q（x，y）在y=
1
4 x 2 +1上，
∴t=-
1
2 x 2 +x-2．（2分）
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=-4，解得x=1±
5 ，
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=±2
∴x的取值范围是x≠1±
5 ，且x≠±2的所有实数；（2分）
②分两种情况讨论：
（1）当CM＞PQ时，则点P在线段OC上，
∵CM ∥ PQ，CM=2PQ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（
1
4 x 2 +1），解得x=0，
∴t=-
1
2 0 2 +0-2=-2；（2分）
（2）当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM ∥ PQ，CM=
1
2 PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即
1
4 x 2 +1=2×2，
解得：x=±2
3 ；（2分）
当x=-2
3 时，得t=-
1
2 (2
3 ) 2 -2
3 -2=-8-2
3 ，
当x=2
3 时，得t=2
3 -8．