已知抛物线C：y 2 =2px（p＞0），焦点F到准线的距离为 1 2 ，过点A（x 0 ，0）（x 0 ≥ 1 8 ）

（Ⅰ）由题意可知， p=
1
2 ，故抛物线方程为y ² =x，焦点 F(
1
4 ，0) ．----（1分）
设直线l的方程为 x=ny+
1
4 ，P（x ₁ ，y ₁ ），Q（x ₂ ，y ₂ ）．
由

y 2 =x
x=ny+
1
4 消去x，得 y 2 -ny-
1
4 =0 ．
所以△=n ² +1＞0，y ₁ +y ₂ =n．------------------------------------（3分）
因为 x 1 =n y 1 +
1
4 ， x 2 =n y 2 +
1
4 ，点A与焦点F重合，
所以 |PQ|= x 1 +
1
4 + x 2 +
1
4 = x 1 + x 2 +
1
2 =n( y 1 + y 2 )+1=2 ．
所以n ² =1，即n=±1．---------------------------------------------（5分）
所以直线l的方程为 x-y-
1
4 =0 或 x+y-
1
4 =0 ，
即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0．-----------------------------------（6分）
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+x ₀ （m≠0），P（x ₁ ，y ₁ ），Q（x ₂ ，y ₂ ），则M（x ₂ ，-y ₂ ）．
由

y 2 =x
x=my+ x 0 消去x，得y ² -my-x ₀ =0，
因为 x 0 ≥
1
8 ，所以△=m ² +4x ₀ ＞0，y ₁ +y ₂ =m，y ₁ y ₂ =-x ₀ ．-----------------------（7分）
方法一：
设B（x _B ，0），则

BM =( x 2 - x B ， - y 2 ) ，

BP =( x 1 - x B ， y 1 ) ．
由题意知，

BM ∥

BP ，所以x ₂ y ₁ -y ₁ x _B =-x ₁ y ₂ +x _B y ₂ ，
即 ( y 1 + y 2 ) x B = x 1 y 2 + x 2 y 1 =
y 21 y 2 +
y 22 y 1 =( y 1 + y 2 )• y 1 y 2 ．
显然y ₁ +y ₂ =m≠0，所以x _B =y ₁ y ₂ =-x ₀ ，即证B（-x ₀ ，0）．--------------------------（9分）
由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以k _PB =1，即
y 1 + y 2
x 1 - x 2 =1 ，也即
y 1 + y 2

y 21 -
y 22 =1 ，
所以y ₁ -y ₂ =1，所以 ( y 1 + y 2 ) 2 -4 y 1 y 2 =1 ，
即m ² +4x ₀ =1，所以m ² =1-4x ₀ ＞0，即 x 0 ＜
1
4
又因为 x 0 ≥
1
8 ，所以
1
8 ≤ x 0 ＜
1
4 ．-----------------------------------------（12分） d=
2 x 0

m 2 +1 =
2 x 0

2-4 x 0 =

2

(
1
x 0 ) 2 -2(
1
x 0 ) =

2

(
1
x 0 -1) 2 -1 ∈[

6
12 ，
1
2 ) ，
所以d的取值范围是 [

6
12 ，
1
2 ) ．---------------------------------（15分）
方法二：
因为直线 l ： y- y 1 =
y 1 + y 2
x 1 - x 2 (x- x 1 ) ，
所以令y=0，则 x= x 1 -
y 1 ( x 1 - x 2 )
y 1 + y 2 = x 1 -
y 1 (
y 21 -
y 22 )
y 1 + y 2 = x 1 -
y 21 + y 1 y 2 =- x 0 ，
所以B（-x ₀ ，0）．--------------------------------------------------（9分）
由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以k _PB =1，即
y 1 + y 2
x 1 - x 2 =1 ，
所以y ₁ -y ₂ =1，所以 ( y 1 + y 2 ) 2 -4 y 1 y 2 =1 ，即m ² +4x ₀ =1，所以m ² =1-4x ₀ ＞0．
因为 x 0 ≥
1
8 ，所以 0＜ m 2 ≤
1
2 ．--------------------------------------（12分）

d=
2 x 0

m 2 +1 =
1- m 2
2
m 2 +1 =
1
2

(1- m 2 ) 2
m 2 +1 =
1
2

( m 2 +1-2) 2
m 2 +1
=
1
2
m 2 +1+
4
m 2 +1 -4 ∈[

6
12 ，
1
2 )
所以d的取值范围是 [

6
12 ，
1
2 ) ．-----------------------------------（15分）