如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点（不与点A点D重合）,将正方形纸片折叠,使点B
如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点（不与点A点D重合）,将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,折痕为EF,连接BP.（1）求证角APB等于角BEF（2）设AP长为x,四边形EFGP面积为S,求出S与x的函数关系式,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值；若不存在,请说明理由.
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做FM⊥AB于M,交BP于N
∵ABCD是正方形
∴易得：FM∥AD∥BC,BMFC是矩形,BM=CF,BC=FM
那么∠APB=∠MNB（两直线平行,同位角相等）
∵PB⊥EF(对称）
即∠EOB=∠BMN=90°
∴∠BEF=90°-∠ABP,∠MNB=90°-∠ABP
∴∠BEF=∠MNB=∠APB
2、∵FM=BC=AB,∠APB=∠BEF=∠MBF
∠BAP=∠FME=90°
∴△ABP≌△FME(AAS)
∴EM=AP=X
∵折叠
∴PE=BE
AE=AB-BE=4-BE
那么AP²+AE²=PE²
X²+(4-BE)²=BE²
BE=(X²+16)/8
∴CF=BM=BE-EM=(X²+16)/8-X
∴BE+CF=(X²+16)/8+(X²+16)/8-X=(X²-4X+16)/4
∴S梯形BECF=(BE+CF)×BC÷2
=[(X²-4X+16)/4]×4÷2
=(X²-4X+16)/2
∵四边形EFGP面积=S梯形BECF(折叠）
∴S=1/2X²-2X+8(0
S=1/2(X²-4X+4)+6
=1/2(X-2)²+6
当x=2时,S有最小值=6
∵ABCD是正方形
∴易得：FM∥AD∥BC,BMFC是矩形,BM=CF,BC=FM
那么∠APB=∠MNB（两直线平行,同位角相等）
∵PB⊥EF(对称）
即∠EOB=∠BMN=90°
∴∠BEF=90°-∠ABP,∠MNB=90°-∠ABP
∴∠BEF=∠MNB=∠APB
2、∵FM=BC=AB,∠APB=∠BEF=∠MBF
∠BAP=∠FME=90°
∴△ABP≌△FME(AAS)
∴EM=AP=X
∵折叠
∴PE=BE
AE=AB-BE=4-BE
那么AP²+AE²=PE²
X²+(4-BE)²=BE²
BE=(X²+16)/8
∴CF=BM=BE-EM=(X²+16)/8-X
∴BE+CF=(X²+16)/8+(X²+16)/8-X=(X²-4X+16)/4
∴S梯形BECF=(BE+CF)×BC÷2
=[(X²-4X+16)/4]×4÷2
=(X²-4X+16)/2
∵四边形EFGP面积=S梯形BECF(折叠）
∴S=1/2X²-2X+8(0
S=1/2(X²-4X+4)+6
=1/2(X-2)²+6
当x=2时,S有最小值=6
1年前
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