夏蓝梦雪 幼苗
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证明:(Ⅰ)如图,取PD的中点E,连EO,EM.
∵EO∥PB,EO=[1/2]PB,MA∥PB,MA=[1/2]PB,
∴EO∥MA,且EO=MA、
∴四边形MAOE是平行四边形.
∴ME∥AC、
又∵AC⊄平面PMD,ME⊂平面PMD,
∴AC∥平面PMD.(3分)
(Ⅱ)如图,PB⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴CD⊥PB.
又∵CD⊥BC,
∴CD⊥平面PBC、
∵CD⊂平面PCD,
∴平面PBC⊥平面PCD、
过B作BF⊥PC于F,则BF⊥平面PDC,连DF,则DF为BD在平面PCD上的射影.
∴∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角.
不妨设AB=2,则在Rt△PBC中,PB=BC=2,BF⊥PC,
∴BF=[1/2]PC=
2.
∵BD=2
2.
∴在Rt△BFD中,BF=[1/2]BD,
∴∠BDF=[π/6].
∴直线BD与平面PCD所成的角是[π/6].(5分)
(Ⅲ)如图,
分别延长PM,BA,设PM∩BA=G,连DG,
则平面PMD∩平面ABCD=DG.
不妨设AB=2,
∵MA∥PB,PB=2MA,
∴GA=AB=2.
过A作AN⊥DG于N,连MN.
∵PB⊥平面ABCD,
∴MA⊥平面ABCD,∴MN⊥DG.
∴∠MNA是平面PMD与平面ABCD
所成的二面角的平面角(锐角).
在Rt△MAN中,
tan∠MNA=[MA/NA]=
2
2.
∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角的正切值是
2
2
点评:
本题考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.
考点点评: 本题考查的知识点是二面角的平面角及求示,直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角,其中在求线面夹角及二面角时,找出其平面角是解答此类问题的关键.
1年前
你能帮帮他们吗