证明在空间仿射坐标系中,方程为飞f(s,t)=0的图像是柱面,其中s=a1x+b1y+c1z,t=a2x+b2y+c2z

柱面是一直线沿一曲线平移所形成的曲面,直线经过平移就是一族母线..如果母线的方向是向量,X是母线L上的点,那L的参数方程就是X+tα,t是参数.换言之,如果能证明某个常向量α是母线的方向,即对曲面上任意X,过点X方向平行于α的直线仍在曲面上,这张曲面就是柱面.
令向量A=(a1,b1,c1),B=(a2,b2,c2),X=(x,y,z)代表坐标,那s=A·X ,t=B·X,
A·(X +λA×B）＝A·X B·(X +λA×B）＝B·X
所以如果X在曲面上,那X +λA×B也是,所以这个方程代表柱面,A×B是母线的方向.证毕