证明,在空间直角坐标下,方程xy+yz+zx=0表示顶点在原点的圆锥面,并求其半顶角?

xy+yz+zx=0,得z= -x*y/(x+y),用软件画出来确实是个锥形,下面来证明一下.






因为xy+yz+zx=0,即0.5*((x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2))=0,即(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2.


因此,考虑(x,y,z)和向量(1,1,1)的夹角,由定义,夹角的cos值为


(x*1+y*1+z*1)/sqrt(x^2+y^2+z^2)/sqrt(1^2+1^2+1^2)=(x+y+z)/sqrt(x^2+y^2+z^2)/sqrt(3)


由已知条件(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2,所以x+y+z=sqrt(x^2+y^2+z^2)或是x+y+z=-sqrt(x^2+y^2+z^2),正负号取决于x+y+z的符号.


简单说：

（1）在x+y+z>0的半平面内,和(1,1,1)的夹角cos就是1/sqrt(3),是个定值.
（2）在x+y+z<0的半平面内,和(-1,-1,-1)的夹角cos就是1/sqrt(3),是个定值.


所以,就是圆锥了,而且圆锥面的轴,就是(1,1,1)和(-1,-1,-1).


而且半顶角,就是1/sqrt(3)的反余弦.

可以用定义验证，准线为 x方 y方 z方=1和x y z=1
顶点在原点，求出来刚好是那个