（2014•荆门模拟）已知函数f(x)＝cos2x+3sinxcosx+2sinxcos(x+π6)，定义域为[0，[π

解题思路：（1）f（x）解析式前两项提取cosx，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；
（2）由（1）化简得到的解析式表示出f（A），代入f（A）=1中计算求出A的度数，再由a的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，再利用基本不等式即可求出b+c的最大值．

（1）f（x）=cosx（cosx+
3sinx）+2sinxcos（x+[π/6]）=2cosxsin（x+[π/6]）+2sinxcos（x+[π/6]）=2sin（2x+[π/6]），
∵x∈[0，[π/2]]，
∴2x+[π/6]∈[[π/6]，[7π/6]]，
∴sin（2x+[π/6]）∈[-[1/2]，1]，
∴函数f（x）的值域是[-1，2]；
（2）由（1）得f（A）=2sin（2A+[π/6]）=1，
即sin（2A+[π/6]）=[1/2]，
由题意可知：0＜A≤[π/2]，即[π/6]＜2A+[π/6]＜[7π/6]，
∴2A+[π/6]=[5π/6]，即A=[π/3]，
由余弦定理，有a²=b²+c²-2bccosA，
即4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3×（[b+c/2]）²=
(b+c)2
4，
∴b+c≤4，
则b+c最大值为4．

点评：
本题考点： 余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．