（2012•盐城二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=-[3/4]x+3分别与x轴、y轴分别交于点A、点B．
（2012•盐城二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=-[3/4]x+3分别与x轴、y轴分别交于点A、点B．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个点位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速度沿AO返向；点Q以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿A-B-O方向向O点匀速运动．当点Q到达点O时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；
（3）若D为y轴上一点，在点P从O向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB-BO-OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；
（3）若D为y轴上一点，在点P从O向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB-BO-OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）分别求得直线AB与坐标轴的交点坐标即可求得A点与B点的坐标；
（2）当将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处时，∠AQP=90°，然后利用相似三角形求得线段AQ和线段PQ的长即可求得三角形APQ的面积；
（3）①若PD∥BQ，则梯形PQBD是等腰梯形．过D、P分分别作DM⊥AB于M，PN⊥AB于N．构造矩形PNMD．则有BM=QN，由PD∥BQ，得[OE/OB]=[OP/OA]，从而求得MB的值；在直角三角形APN中根据AP求得QN的值，然后由BM=QN，求得t，所以点E的坐标就迎刃而解了；
②若PQ∥BD，则等腰梯形PQBD中BQ=EP且PQ⊥OA于P点．由OP+AP=OA求得t值；
（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．再有边角关系求得BQ=AQ=[1/2]AD，解得t值；②②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t．在Rt△OGQ中，利用勾股定理得OQ2=QG2+OG2，列出关于t的方程，解方程即可．
（2）当将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处时，∠AQP=90°，然后利用相似三角形求得线段AQ和线段PQ的长即可求得三角形APQ的面积；
（3）①若PD∥BQ，则梯形PQBD是等腰梯形．过D、P分分别作DM⊥AB于M，PN⊥AB于N．构造矩形PNMD．则有BM=QN，由PD∥BQ，得[OE/OB]=[OP/OA]，从而求得MB的值；在直角三角形APN中根据AP求得QN的值，然后由BM=QN，求得t，所以点E的坐标就迎刃而解了；
②若PQ∥BD，则等腰梯形PQBD中BQ=EP且PQ⊥OA于P点．由OP+AP=OA求得t值；
（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．再有边角关系求得BQ=AQ=[1/2]AD，解得t值；②②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t．在Rt△OGQ中，利用勾股定理得OQ2=QG2+OG2，列出关于t的方程，解方程即可．
（1）令y=-[3/4]x+3=0，解得x=4，
∴点A的坐标为（4，0）；
令x=0，得y=-[3/4]×0+3=3，
∴点B的坐标为：（0，3）；
（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
此时△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4-t
∴[AQ/AO＝
AP
AB＝
QP
OB]
即：[t/4＝
4−t
5＝
QP
3]
解得：AQ=t=[16/9]，QP=[4/3]，
∴S△APQ=[1/2]AQ•PQ=[1/2]×[16/9]×[4/3]=[32/27]；
（3）存在，有以下两种情况
①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
则有BM=QN，由PE∥BQ，
得 [OE/OB＝
OP
OA]，
∴BM=[3/5]（3-[3/4]t）；
又∵AP=4-t，
∴AN=[4/5]（4-t），
∴QN=[4/5]（4-t）-t，
由BM=QN，得[3/5]（3-[3/4]t）=[4/5]（4-t）-t
∴t=[28/27]，
∴E（0，[7/9]）；
②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知AP=[4/5]AQ=[4/5]t
∵OP+AP=OA，
∴t+[4/5]t=4
∴t=[20/9]，
∴OE=
点评：
本题考点： 一次函数综合题．
考点点评： 本题主要考查了一次函数的应用，相似三角形的性质以及二次函数等知识点的综合应用，弄清相关线段的大小和比例关系是解题的关键．
1年前
8
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