已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．

解题思路：（1）把x=2代入可求得q与p的关系式；
（2）由△=b²-4ac可判断抛物线与x轴的交点情况；
（3）先写出该抛物线的顶点坐标，方程根与系数关系可求线段AB的长，进而求得△AMB的面积表达，从而求得最小值．

（1）把x=2代入得2²+2p+q+1=0，即q=-（2p+5）；
（2）证明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判别式△=p²-4q＞0，
由（1）得△=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4＞0，（3分）
∴一元二次方程x²+px+q=0有两个不相等的实根．（4分）
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；（5分）
（3）抛物线顶点的坐标为M(−
p
2，
4q−p2
4)，（6分）
∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两个根，
∴

x1+x2＝−p
x1x2＝q，
∴|AB|＝|x1−x2|＝
(x1+x2)2−4x1x2＝
p2−4q．（7分）
∴S△AMB＝
1
2|AB|•|
4q−p2
4|＝
1
8(p2−4q)
p2−4q，（8分）
要使S_△AMB最小，只须使p²-4q最小．
由（2）得△=p²-4q=（p+4）²+4，
所以当p=-4时，有最小值4，此时S_△AMB=1，q=3．（9分）
故抛物线的解析式为y=x²-4x+3．（10分）

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 考查了代入法、判别式△的使用，以及一元二次方程中根与系数的关系、三角形面积的求法、最大最小值的求解等内容．

1)2^2+p*2+q+1=0 q=-2p-5
2)y=x^2+px+q=x^2+px-2p-5 判别式=p^2+8p+20=(p+4)^2+4>0，
所以抛物线y=x^2+px+q与x轴有两个交点.
3)[x1-x2]=√[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(p^2-4q)=√(p^2+8p+20)，p=-4时，取最小值2。
此时，M点纵坐标的绝对值...