已知函数f（x）=x+[2/x−a]，其中a∈R．

（Ⅰ）∵函数f（x）=x+[2/x−a]为奇函数，其中a∈R；
∴f（-x）+f（x）=（-x+[2/−x−a]）+（x+[2/x−a]）=0，
∴[2/x+a]=[2/x−a]，
∴a=0；
（Ⅱ）a=1时，函数f（x）=x+[2/x−1]在（1，
2]上是减函数，
用定义证明x₁、x₂∈（1，
2]，且x₁＜x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+[2
x1−1）-（x₂+
2
x2−1）
=（x₁-x₂）[1-
2
(x1−1)(x2−1)]，
∵1＜x₁＜x₂≤
2，∴x₁-x₂＜0；
∴（x₁-1）（x₂-1）＜(
2)2-1=1，
∴1-
2
(x1−1)(x2−1)＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是减函数；
（Ⅲ）证明：设sinθ+cosθ=t，∴t=

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性，单调性的证明以及应用问题，解题时用定义来证明函数的单调性，应用构造函数的方法，结合函数的单调性求最值问题，是综合题．

1年前

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