已知函数f（x）=sin（2x+[π/6]）+sin（2x-[π/6]）+2cos2x，（x∈R）

解题思路：（1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+1．再利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的单调递减区间．
（2）由f（x）≥2，即

2

sin(2x+

π

4

)+1≥2，化为sin(2x+

π

4

)≥

2

2

．再利用正弦函数的单调性即可得出．

（1）函数f（x）=sin（2x+[π/6]）+sin（2x-[π/6]）+2cos²x
=sin2xcos
π
6+cos2xsin
π
6+sin2xcos
π
6-cos2xsin
π
6+1+cos2x
=sin2x+cos2x+1
=
2sin(2x+
π
4)+1．
由2kπ+
π
2≤2x+
π
4≤2kπ+
3π
2，解得kπ+
π
8≤x≤kπ+
5π
8（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递减区间[kπ+
π
8，kπ+
5π
8]（k∈Z）．
（2）由f（x）≥2，即
2sin(2x+
π
4)+1≥2，化为sin(2x+
π
4)≥

2
2．
∴2kπ+
π
4≤2x+
π
4≤2kπ+
3π
4，解得kπ≤x≤kπ+
π
4（k∈Z）．
∴使f（x）≥2的x的取值范围是[kπ，kπ+
π
4]（k∈Z）．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用．

考点点评： 本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．