已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值．
赞 听雪楼 幼苗
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解题思路：（1）令x1=x2=0代入即可得答案；
（2）用定义确定函数f（x）是[0，1]上的增函数，所以当x=1时函数f（x）取最大值．
（2）用定义确定函数f（x）是[0，1]上的增函数，所以当x=1时函数f（x）取最大值．
（1）对于条件③，令x1=x2=0，得f（0）≤0，
又由条件①知，f（0）≥0，
故f（0）=0．
（2）设0≤x1＜x2≤1，则x2-x1∈（0，1），
∴根据③，若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
∴f（x2）-f（x1）
=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）
≥f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）
=f（x2-x1）≥0．
即f（x2）≥f（x1），故f（x）在[0，1]上是单调递增，
∴f（x）的最大值是f（1）=1．
点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．
考点点评： 本题主要考查抽象函数的单调性以及基本不等式的有关问题．解决抽象函数问题时，会经常对抽象函数的恒等式赋值处理或者会数形结合来处理．
1年前
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