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dd118 幼苗
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(1)依题意设C(x0,y0),M、N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则圆C的方程为:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2.
令y=0,并由x02=2py0,得x2-2x0x+x02-p2=0,
解得x1=x0-p,x2=x0+p,
所以弦长MN为|x2-x1|=x0+p-(x0-p)=2p.
(2)设∠MAN=θ,因为S△MAN=
1
2l1•l2•sinθ=
1
2OA•MN=p2,
所以l1l2=
2p2
sinθ,因为l12+l22-2l1 l2cosθ=4p2,
所以l12+l22=4p2+
4p2
sinθcosθ=4p2(1+
1
tanθ).
所以
l1
l2+
l2
l1=
l21+
l22
l1l2=
4p2(1+
1
tanθ)sinθ
2p2=2(sinθ+cosθ)=2
2sin(θ+45°).
因为0<θ≤900,所以当且仅当θ=45°时,原式有最大值2
2,当且仅当θ=90°时,原式有最小值为2,
从而
l1
l2+
l2
l1的取值范围为[2,2
点评:
本题考点: 圆与圆锥曲线的综合.
考点点评: 这是一道圆锥曲线与三角函数的知识点交汇综合题型,此题考查学生的运算能力,
知识点方面还考查直线与圆的位置关系,及弦长公式的运用,同时利用三角函数求最值方法.
1年前