（2013•宝应县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−43x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD=[1/

（2013•宝应县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−

x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD=[1/4]OB，AC=[1/4]AB，过点C作CE⊥OA于点E，点M从点C出发，沿CD方向运动，过点M作MN⊥OA于点N，过点N作NP∥AB，交OB于点P，当点N与点O重合时点M停止运动．设AN=a．
（1）求点C的坐标；
（2）用含a的代数式表示NP；
（3）是否存在点M，使△MNP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

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不该cc 幼苗

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解题思路：（1）先求出一次函数y=−

x+8的图象与x轴，y轴的交点A、B的坐标，得到OA=6，OB=8，由勾股定理求出AB=10，再由已知条件得出CE=OD=2，AC=[5/2]，运用勾股定理求出AE，进而得到点C的坐标；
（2）先由OD=[1/4]OB，AC=[1/4]AB，证明NP∥AB，再根据平行线分线段成比例定理得出[ON/OA＝

AB]，即可用含a的代数式表示NP；
（3）因为由已知条件得出a=4.5时，点P与点D重合，所以分两种情况讨论：①0≤a＜4.5，②4.5＜a＜6，两种情况都可以先由NP∥AB，得出[ON/OA

＝

OB]，则用含a的代数式表示出OP，求出PD，再由勾股定理表示出PM²，然后根据腰长相等列出关于a的方程，解方程检验即可．

（1）∵一次函数y=−
4
3x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=
OA2+OB2=10，
∴OD=[1/4]OB=2，AC=[1/4]AB=[5/2]，
∴OD：OB=AC：AB=1：4，
∴CD∥OA，
∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
∴四边形ODCE与四边形ODMN是矩形，
∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
∴AE=
AC2−CE2=[3/2]，
∴OE=OA-AE=6-[3/2]=[9/2]，
∴点C的坐标为：（[9/2]，2）；

（2）∵NP∥AB，
∴[ON/OA＝
NP
AB]，
∵AN=a，
∴ON=OA-AN=6-a，
∴[NP/10＝
6−a
6]，
解得：NP=[30−5a/3]；

（3）存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，理由如下：
过点D作DQ∥AB交OA于Q，则
[OQ/OA]=[OD/OB]，即[OQ/6]=[2/8]，
解得OQ=1.5，
∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
∴当a=4.5时，点P与点D重合，此时△MNP不是等腰三角形．
分两种情况讨论：
①当0≤a＜4.5，即点P在点D上方时，如右图．
∵NP∥AB，
∴[ON/OA＝
OP
OB]，
∴

点评：
本题考点：一次函数综合题．

考点点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：平面直角坐标系中点的坐标的求法，勾股定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，注意问题（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解，这是解决本题的关键．

1年前

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