角平分线 角平分线的应用 如图1-4-21所示,（1）在三角形ABC中,若AD为角平分线,求证：S三角形ABD 比 S三
角平分线 角平分线的应用
如图1-4-21所示,（1）在三角形ABC中,若AD为角平分线,求证：S三角形ABD 比 S三角形ACD =AB 比 AC ；
（2）写出（1）中的逆命题,并证明它是真命题；
（3）在三角形ABC中,AD为角平分线,求证 ：AB 比 AC =BD 比 BD 比 DC.
证明（二）
如图1-4-21所示,（1）在三角形ABC中,若AD为角平分线,求证：S三角形ABD 比 S三角形ACD =AB 比 AC ；
（2）写出（1）中的逆命题,并证明它是真命题；
（3）在三角形ABC中,AD为角平分线,求证 ：AB 比 AC =BD 比 BD 比 DC.
证明（二）
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S△ABC=1/2AB×AD×sin∠BAD,S△ADC=1/2AC×ADsin∠DAC
∵∠BAD=∠DAC
∴S△ABC：S△ADC=AB：AC
如果S△ABC：S△ADC=AB：AC,那么AD是三角形ABC的角平分线.
2证明：作DE⊥AB交AB于E,作DF⊥AC交AC于F
∵S△ABC：S△ADC=AB：AC
∴DE=DF
在Rt△ADE与Rt△ADF中,
∵DE=DF,AD=AD
∴△ADE全等△ADF
∴∠BAD=∠DAC
3如图,因为以BD、CD为底边,△ABC与△ADC等高.
∴S△ABC：S△ADC=BD：DC
又∵S△ABC：S△ADC=AB：AC
∴BD：DC=AB：AC
∵∠BAD=∠DAC
∴S△ABC：S△ADC=AB：AC
如果S△ABC：S△ADC=AB：AC,那么AD是三角形ABC的角平分线.
2证明：作DE⊥AB交AB于E,作DF⊥AC交AC于F
∵S△ABC：S△ADC=AB：AC
∴DE=DF
在Rt△ADE与Rt△ADF中,
∵DE=DF,AD=AD
∴△ADE全等△ADF
∴∠BAD=∠DAC
3如图,因为以BD、CD为底边,△ABC与△ADC等高.
∴S△ABC：S△ADC=BD：DC
又∵S△ABC：S△ADC=AB：AC
∴BD：DC=AB：AC
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