如图9,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平行BC,垂足为D,交AB于点E,又点F在DE的延长线

如图9,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平行BC,垂足为D,交AB于点E,又点F在DE的延长线上,且AF=CE.求证四边形ECAF是菱形.

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证明：∵∠ACB=90°,DE是BC的中垂线,
∴DE⊥BC,
又∵AC⊥BC,
∴DE∥AC,
又∵D为BC中点,DF∥AC,
∴DF是△ABC的中位线,
∴E为AB边的中点,
∴CE=AE=BE,
∵∠BAC=60°,
∴△ACE为正三角形,
在△AEF中,∠AEF=∠DEB=∠CAB=60°,
而AF=CE,又CE=AE,
∴AE=AF,
∴△AEF也为正三角形,
∴∠CAE=∠AEF=60°,
∴AC∥=EF,
∴四边形ACEF为平行四边形,
又CE=AC,
∴▭ACEF为菱形．

1年前

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