求条件极值将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体的体积最大?我想用拉格朗

求条件极值
将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体的体积最大?
我想用拉格朗日乘数法做,这个辅助函数写的对不对?L(X,Y)=π*x^2*y+λ（x+y-p)
如果对的话,

幻墟 1年前已收到2个回答举报

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答：
不用那么复杂吧?
设旋转的边长为x,则另外一个边长为p-x即为旋转的底面半径
体积V=[ π(p-x)^2 ]*x
=(π/2)*(p-x)*(p-x)*2x
因为：
(p-x)+(p-x)+2x>=3³√[(p-x)*(p-x)*2x]
所以：3³√[(p-x)*(p-x)*2x]

1年前追问

对，书上的答案也是这么写的，不过我想是不是用拉格朗日乘数法，求条件极值也能求出来？

呵呵，大学的知识我忘记了....不过均值不等式就可以解答这道题目

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换个字母来解释：
xy+2λz/a²=0
yz+2λx/b²=0
zx+2λy/c²=0
解出2λ：xya²/z=yzb²/x=xzc²/y
解得：ax=bz by=cx 故z/a=x/b=y/c代入最后一个等式即可
打字不易，如满意，望采纳。

1年前

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