（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，d=(1，2)是它的一条渐近线的一个方向向
（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
=(1，
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求
•
的值；
（3）对于双曲线Γ：
−
＝1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN与x轴的交点是一个定点．
| d |
| 2 |
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求
| DA |
| DB |
（3）对于双曲线Γ：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
赞 lulu1988 幼苗
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解题思路：（1）设出双曲线方程，利用D（1，0）是它的一个顶点，
=(1，
)是它的一条渐近线的一个方向向量，可得几何量，即可求双曲线C的方程；
（2）分类讨论，直线方程与双曲线方程联立，利用向量知识，即可得出结论；
（3）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，由EM⊥EN，可得结论．
| d |
| 2 |
（2）分类讨论，直线方程与双曲线方程联立，利用向量知识，即可得出结论；
（3）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，由EM⊥EN，可得结论．
（1）设双曲线C的方程为
x2
a2−
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)，则a=1，
又
b
a＝
2，得b＝
2，所以，双曲线C的方程为x2−
y2
2＝1．
（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），
DA＝(−4，4)，
DB＝(−4，−4)，所以
DA•
DB=0．
当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），
由
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；双曲线的标准方程．
考点点评： 本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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