已知α为锐角，且 tanα= 2 -1 ，函数 f(x)=2xtan2α+sin(2α+ π 4 ) ，数列{a n }

（1） tan2α=
2tanα
1- tan 2 α =
2(
2 -1)
1- (
2 -1) 2 =1
∴ sin(2α+
π
4 )=sin2α•cos
π
4 +cos2α•sin
π
4 =

2
2 (sin2α+cos2α)
=

2
2 ×
2sinα•cosα+(co s 2 α-si n 2 α )
si n 2 α+co s 2 α （分子分母同除以cos ² α）
=

2
2 ×
2tanα+(1-ta n 2 α)
1+ta n 2 α =1
∴f（x）=2x+1
（2）由（1）得∠A=2α=
π
4 ，而 ∠C=
π
3 ，
根据正弦定理易AB=
BC•sin
π
3
sin
π
4 =
2×

3
2


2
2 =
6 ，
sinB=sin[π-(A+C)]=sin75°=

6 +
2
4
S△ABC=
1
2 ×AB×BC×sinB=
1
2 ×
6 ×2×

6 +
2
4 =
3+
3
2
（3）∵a _n+1 =2a _n +1，
∴a _n+1 +1=2（a _n +1）
∵a ₁ =1∴数列{a _n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
可得a _n +1=2 ⁿ ，∴a _n =2 ⁿ -1，
∴ S n =
2(1- 2 n )
1-2 -n= 2 n+1 -n-2