对于四面体ABCD,若所有棱长都相等,则还四面体的外接圆与内切圆的半径之比为多少?为什么?

二月柳 1年前 已收到1个回答 举报
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驿点 春芽

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设四面体ABCD的棱长为a,作AE⊥平面BCD于E,则E是正△BCD的中心,BE=a√3/3,AE=√(AB^2-BE^2)=a√6/3,
作棱AB的垂直平分面交AE于O,则O是四面体ABCD的外接球的球心,设OA=OB=R,则OE=AE-R,
由OB^2=BE^2+OE^2得R^2=a^2/3+(a√6/3-R)^2,
解得R=a√6/4,
其内切球半径r=AE/4=a√6/12,
∴R/r=3,为所求.

1年前

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