观察下列各个等式：12=1，12+22=5，12+22+32=14，12+22+32+42=30，…．

（1）∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：
1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
将这n个等式的左右两边分别相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+4²+…+n²=
n3+3(1+2+3+…+n)−n
3＝
n(n+1)(2n+1)
6．

（2）先求得A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，3），
∴点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1的横坐标分别为[3/n、
6
n、
9
n、…、
3(n−1)
n]，
点B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1的纵坐标分别为−(
3
n)2+2(
3
n)+3、−(
6
n)2+2(
6
n)+3、…、−[
3(n−1)
n]2+2×
3(n−1)
n+3．
∴S1＝
9
2n，S2＝
9(n2+2n−3)
2n3，S3＝
9(n2+4n−12)
2n3，…，Sn＝
9[n2+2(n2−n)−3(n−1)2]
2n3；
∴S1+S2+S3+…+Sn＝
9{n3+2n(1+2+3+…+n−1)−3[12+22+32+…+(n−1)2]}
2n3=
9[n3+2n×
n(n−1)
2−3×
n(n−1)(2n−1)
6
2n3＝
9(2n2+n−1)
4n2．（3分）
∴①当n=2010时，S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀=[9/2]+[9/4×2010]-[9
4×20102；
②∵S1+S2+S3+…+Sn＝
9(2n2+n−1)
4n2＝
9/2+
9
4n−
9
4n2]；
∴当n取到无穷无尽时，上式的值等于[9/2]，即所有三角形的面积和等于[9/2]．（3分）

点评：
本题考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

考点点评： 本题通过推导公式考查了二次函数图象上点的坐标特征，题目新颖，有一定的难度．