1．如图,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF是正方形,连接AF、BD．
1．如图,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF是正方形,连接AF、BD．
（1）观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想；
（2）连接AD、BF,若AC=4,CF=2,求AD²+BF²的值
（1）观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想；
（2）连接AD、BF,若AC=4,CF=2,求AD²+BF²的值
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1、AF与BD垂直且相等
2、AD²+BF²=40
据题意知：∠BCF=180-∠ACD,CD=CF,AC=BC
由余弦定理得：
AD²=DC²+AC²-2DC*AC*cos∠ACD
=AC²+CF²-2AC*CF*cos∠ACD
BF²=BC²+CF²-2BC*CF*cos∠BCF
=AC²+CF²-2AC*CF*cos(180∠ACD)
=AC²+CF²+2AC*CF*cos∠ACD
AD²+BF²=2(AC²+CF²)=2(4²+2²)=40
2、AD²+BF²=40
据题意知：∠BCF=180-∠ACD,CD=CF,AC=BC
由余弦定理得：
AD²=DC²+AC²-2DC*AC*cos∠ACD
=AC²+CF²-2AC*CF*cos∠ACD
BF²=BC²+CF²-2BC*CF*cos∠BCF
=AC²+CF²-2AC*CF*cos(180∠ACD)
=AC²+CF²+2AC*CF*cos∠ACD
AD²+BF²=2(AC²+CF²)=2(4²+2²)=40
1年前
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