已知各项均为整数的等比数列{an}，公比q＞1，且满足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列的通项

解题思路：（1）利用等比中项公式直接求出a₃=8，利用a₃+2是a₂，a₄的等差中项．求出公比，然后求出通项公式；
（2）表示出A_n=a_n+1-2，B_n=log₂²a_n+1，验证二者的大小，利用数学归纳法证明第一步，验证n=4时，不等式成立，第二步，假设n=k时，结论成立，下面证明n=k+1时也成立．

（1）

因为a2a4＝64，∴a32＝64，a3＝±8.，∴a3＝8，a₃+2是a₂，a₄的等差中项，所以a₂=4，a₄=16，所以数列的通项公式a_n=2ⁿ．
（2）


由(1)得An＝2n+1−2，Bn＝lo
g222n+1＝(n+1)2，
当n＝1时，A1＝2，B1＝(1+1)2＝4，A1＜B1；
当n＝2时，A2＝6，B2＝(2+1)2＝9，A2＜B2；
当n＝3时，A13＝14，B3＝(3+1)2＝16，A3＜B3；
当n＝4时，A4＝30，B4＝(4+1)2＝25，A4＞B4；
由上可以猜想，当1≤n≤3时，An＜Bn；当n≥4时，An＞Bn
下面用数学归纳法给出证明：
①当n=4时，已验证不等式成立．
②


假设n＝k(k≥4)时，Ak＞Bk成立，即2k+1−2＞(k+1)2
当n＝k+1时，Ak+1＝2k+2−2＝2(2k+1−2)+2＞2(k+1)2+2＝2k2+4k+4
＞k2+4k+4＝[(k+1)+1]2＝Bk+1
即当n＝k+1时不等式也成立．
由①②知，当n≥4（n∈N^*）时，A_n＞B_n
综上，当1≤n≤3时，A_n＜B_n；当n≥4时，A_n＞B_n

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列与函数的综合．

考点点评： 本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．考查了学生对数列基本知识的掌握．难点在于作差比较大小，得出的结果不能判别符号，不少学生在此会放弃；在于要想到用数学归纳法来证明差中的一部分．