已知:p为等边△ABC内任意一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,PB⊥BC于F.求证:PD+PE+PF是定值

连结PA、PB、PC,作AM⊥BC
S△APB+S△APC+S△BPC=S△ABC
S△APB=AB*PD/2
S△APC=AC*PE/2
S△BPC=BC*PF/2
S△ABC=BC*AM/2
所以AB*PD/2+AC*PE/2+BC*PF/2=BC*AM/2
因为△ABC为等边三角形
所以AB=AC=BC
所以AB*PD/2+AC*PE/2+BC*PF/2=BC*AM/2可以化简成
PD+PE+PF=AM
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证明：过点A作AM垂直BC于M
所以角AMB=90度
S三角形ABC=1/2*BC*AM
因为三角形ABC是等边三角形
所以AB=BC=AC
BM=1/2BC
由勾股定理得：
AB^2=AM^2+BC^2
所以AM=根号3/2AM
所以S三角形ABC=根号3/4AB^2
因为PD垂直AB于D PE垂直AC于E PF垂...