如图，在杨辉三角中，斜线上方的数组成数列：1，3，6，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则limn→∞n3Sn=__

解题思路：设第n个数为a_n，观察图中的数据可得a₁=1，a₂-a₁=2，a₃-a₂=3…a_n-a_n-1=n，利用叠加法可求a_n，然后利用分组求和，等差数列的和公式可求S_n，，代入所求式子可求极限．

设第n个数为a_n，
则a₁=1
a₂-a₁=2
a₃-a₂=3
a₄-a₃=4
…
a_n-a_n-1=n
叠加可得，a_n-a₁=2+3+4+…+n
∴a_n=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2=[1/2(n2+n)
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=
1
2(12+1+22+2+…+n2+n)
=
1
2[(12+22+…+n2)+(1+2+3+…+n)]
=
1
2×
1
6n(n+1)(2n+1)+
1
2×
n(n+1)
2]
=
n(1+n)(n+2)
6
∴
lim
n→∞
n3
Sn=
lim
n→∞
6n2
n2+3n+2=
lim
n→∞
6
1+
3
n+
2
n2=6
故答案为：6

点评：
本题考点： 数列的极限．

考点点评： 本题主要考查了归纳推理的应用，数列中叠加求解数列的通项公式，分组求和的求和方法及数列极限的求解，属于综合性试题．

1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
Sn=1+2+3+4+5++++n=(1+n)n/2
n^3/Sn=2n^2/(1+n)
极限n^3/Sn=
题目好像有问题唉？