已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（1，22），离心率为22，左、右焦点分别为F1，F2．点P为直线l：x

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（1，
2
2
），离心率为
2
2
，左、右焦点分别为F1，F2．点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF1，PF2的斜率存在，且分别为k1，k2．
①求证：[1k1−
3
k2
wuzongfen22 1年前 已收到1个回答 举报
赞

风飘残雪 幼苗

共回答了21个问题采纳率：90.5% 举报

解题思路：（1）由已知得
1
a2
+
1
2b2
＝1
c
a
＝
2
2
a2＝b2+c2
，由此能求出椭圆方程．
（2）（i）直线PF1，PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x-1）联立方程P（
k1+k2
k1−k1
，
2k1k2
k2−k1
），由此能证明[1k1-
3
k2
=2为定值．
（ii）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD） 联立直线PF1与椭圆的方程得
y＝k1(x+1)
x2 /2
+y2＝1
]，得（2k12+1）x2+4k21x+2k21-2=0，从而kOA+kOB=-
2k1
k12−1
，同理，kOC+kOD=-
2k2
k22−1
，由此推导出满足条件的点P的坐标分别为（0，2），（[5/4]，[3/4]）．

（1）因为椭圆过点（1，

2/2]），离心率为

2
2，
所以


1
a2+
1
2b2＝1

c
a＝

2
2
a2＝b2+c2，解得a=
2，b=1，c=1，
故所求椭圆方程为
x2
2+y2＝1．
（2）（i）证明：由于F1（-1，0）、F2（1，0），
PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上，
所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0，
又直线PF1，PF2的方程分别为y=k1（x+1），y=k2（x-1）
联立方程得

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查1k1−3k2为定值的证明，考查满足条件的点P的坐标是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

1年前

1
可能相似的问题

你能帮帮他们吗

精彩回答

Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.119 s. - webmaster@yulucn.com