在三角形ABC中,E为AB的中点,2向量BD=向量DC,M为向量AD,CE的交点,设向量BA=a,BC=c,用a,c表示

这其实是一道并不复杂的初等几何计算题.却打起“向量”旗号,当真有“拉大旗作虎皮”之嫌!
通常应该是：BA=c ,BC=a .请注意 这“a ” “c" 可是你自己命名的!
过M作MF∥BC ,作 MG∥BA,F,G是交点
由向量运算法则知：向量BM=向量BF+向量BG
过 E作EG‘∥AD 交BC于G' （过D作DF'∥CE交BA于F',可暂不作,进行“同理”分析时再作）
∵⊿CMD∽⊿CEG' (EG'∥MD)
∴CM/CE=CD/CG'=2BD/(2BD+BD/2)=4/5
(∵⊿BEG'∽⊿BAD => BG’/BD=BE/BA => G'D=BD/2 而CG'=CD+DG')
∴GM=4BE/5=2BA/5 => 向量BF=2a/5 (∵BF=GM)
同理：向量BG=c/5
∴向量BM=(2a+c)/5