有直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BACk=90°,AB=AC=AA1=1,B1D⊥平面ABC,垂足为D,且向量B1D

本题的关键是要找到点D的位置

易知直三棱柱ABC-A1B1C1可补成正方体ACEB-A1C1E1B1（如图）

易知平面ABC1即平面AC1E1B

则B1D⊥平面AC1E1B

而平面AC1E1B⊥平面BEE1B1，BE1为交线

则B1D⊥BE1

易知BEE1B1为正方形

显然D为正方形BEE1B1的对角线交点

以B为坐标原点建立空间直角坐标系

相关点的坐标易知（如图）

以下有向线段表示向量，于是有

B1D=(0,1/2,-1/2)

B1B=(0,0,-1)

B1C1=(1,1,0)

B1A=(1,0,-1)

因B1D=αB1B+βB1C1+γB1A

则(0,1/2,-1/2)=α(0,0,-1)+β(1,1,0)+γ(1,0,-1)

=(0,0,-α)+(β,β,0)+(γ,0,-γ)

=(β+γ,β,-α-γ)

所以有

β+γ=0（I）

β=1/2（II）

-α-γ=-1/2（III）

由（I）~（III）解得

α=1

β=1/2

γ=-1/2

显然上述各值满足α+β+γ=1