如图,在四边形ABCD中,AD‖BC,AE、BF分别平分角DAB和角ABC,交CD于点E、F,AE、BF相交于点M.求证
如图,在四边形ABCD中,AD‖BC,AE、BF分别平分角DAB和角ABC,交CD于点E、F,AE、BF相交于点M.求证：点M在AB、CD边中点的连线上
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∵AE平分∠DAB,BF平分∠ABC
∴∠DAE=∠EAB,∠FBA=∠CBF
∵AD‖BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°
即（∠DAE+∠EAB）+（∠FBA+∠CBF）=180°
2∠EAB+2∠FBA=180°
∴∠EAB+∠FBA=90°
而∠EAB+∠FBA+∠AMB=180°
∴∠AMB=90°
设AB、CD的中点分别为G、H,连接MG
M为直角△ABM斜边AB的中点
∴MG=AG=GB
∴∠EAB=∠AMG
∵∠DAE=∠EAB,∴∠DAE=∠AMG
∴GM‖AD．
∵AD‖BC,
∴四边形ABCD是以AD、BC为底的梯形,
又G、H分别为两腰AB、DC的中点,
由梯形中位线定理可知,GH‖AD,而证得GM‖AD
过点G与AD平行的直线只有一条
∴M点在GH上,
即M点在AB、CD边中点的连线上．
∴∠DAE=∠EAB,∠FBA=∠CBF
∵AD‖BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°
即（∠DAE+∠EAB）+（∠FBA+∠CBF）=180°
2∠EAB+2∠FBA=180°
∴∠EAB+∠FBA=90°
而∠EAB+∠FBA+∠AMB=180°
∴∠AMB=90°
设AB、CD的中点分别为G、H,连接MG
M为直角△ABM斜边AB的中点
∴MG=AG=GB
∴∠EAB=∠AMG
∵∠DAE=∠EAB,∴∠DAE=∠AMG
∴GM‖AD．
∵AD‖BC,
∴四边形ABCD是以AD、BC为底的梯形,
又G、H分别为两腰AB、DC的中点,
由梯形中位线定理可知,GH‖AD,而证得GM‖AD
过点G与AD平行的直线只有一条
∴M点在GH上,
即M点在AB、CD边中点的连线上．
1年前
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