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绿帽 幼苗
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对于A,因为f(π+x)=cos(π+x)sin(2π+2x)=-cosxsin2x,
f(π-x)=cos(π-x)sin(2π-2x)=cosxsin2x,所以f(π+x)+f(π-x)=0,
可得y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称,故A正确;
对于B,因为f([π/2]+x)=cos([π/2]+x)sin(π+2x)=-sinx(-sin2x)=sinxsin2x,
f([π/2]-x)=cos([π/2]-x)sin(π-2x)=sinxsin2x,所以f([π/2]+x)=f([π/2]-x),
可得y=f(x)的图象关于直线x=[π/2]对称,故B正确;
对于C,化简得f(x)=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx(1-sin2x),
令t=sinx,f(x)=g(t)=2t(1-t2),-1≤t≤1,
∵g(t)=2t(1-t2)的导数g'(t)=2-6t2=2(1+
3t)(1-
3t)
∴当t∈(-1,-
3
3)时或t∈(
3
3,1)时g'(t)<0,函数g(t)为减函数;
当t∈(-
3
3,
3
3)时g'(t)>0,函数g(t)为增函数.
因此函数g(t)的最大值为t=-1时或t=
3
3时的函数值,
结合g(-1)=0<g(
3
3)=
4
3
9,可得g(t)的最大值为
4
3
9.
由此可得f(x)的最大值为
4
3
9而不是
3
2,故C不正确;
对于D,因为f(-x)=cos(-x)sin(-2x)=-cosxsin2x=-f(x),所以f(x)是奇函数.
因为f(2π+x)=cos(2π+x)sin(4π+2x)=cosxsin2x=f(x),
所以2π为函数的一个周期,得f(x)为周期函数.可得f(x)既是奇函数,又是周期函数,得D正确.
综上所述,只有C项不正确.
故选:C
点评:
本题考点: 三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.
考点点评: 本题给出三角函数式,研究函数的奇偶性、单调性和周期性.着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识,属于中档题.
1年前
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3,已知函数y=cos(sinx),则下列结论正确的是( )
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