在矩形ABCD中,AB=根号三,AD=根号六,M是BC的中线,联接AM,BD,求证:AM垂直BD

证明：设AM与BD相交于点N
因为ABCD是矩形
所以角BAD=角ABM=90度
AD=BC
AD平行BC
所以角NAD=角NMB
角NDA=角NBM
所以三角形NAD和三角形NMB相似
所以MN/AN=BM/AD=BN/ND
因为M是BC的中点
所以BM=MC=1/2BC
所以BM/AD=1/2
所以MN/AN=BN/ND=1/2
所以AN/AM=DN/BD=2/3
在直角三角形BAD中,角BAD=90度
由勾股定理得：
BD^2=AB^2+AD^2
因为AB=根号3
AD=根号6
所以BD=3
所以DN=2
在直角三角形ABM中,角ABM=90度
由勾股定理得：
AM^2=AB^2+BM^2=3+3/2=9/2
所以AM=(3/2)*根号2
所以AN=根号2
因为[(3/2)*根号2]^2+(2)^2=(根号6)^2
所以AD^2=AN^2+DN^2
所以角AND=90度
所以AM垂直BD

设AM与BD交点为O，证三角形ABM与三角形BOM相似即可