藤花遥 幼苗
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设等比数列{an}的首项为a1,公比为q(a1≠0,q≠0),若am,am+2,am+1成等差数列,
则2am+2=am+am+1.
∴2a1qm+1=a1qm-1+a1qm.
∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0.
解得q=1或q=−
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2.
当q=1时,∵Sm=ma1,Sm+1=(m+1)a1,Sm+2=(m+2)a1,
∴2Sm+2≠Sm+Sm+1.
∴当q=1时,Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.
当q=−
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2时,Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.下面给出两种证明方法.
证法1:∵(Sm+Sm+1)-2Sm+2=(Sm+Sm+am+1)-2(Sm+am+1+am+2)=-am+1-2am+2=-am+1-2am+1q=−am+1−2am+1(−
1
2)=0,
∴2Sm+2=Sm+Sm+1.
∴当q=−
1
2时,Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
证法2:∵2Sm+2=
2a1[1−(−
1
2)m+2]
1+
1
2=
4
3a1[1−(−
1
2)m+2],
又Sm+Sm+1=
a1[1−(−
1
2)m]
1+
1
2+
a1[1−(−
1
2)m+1]
1+
1
2=
2
3a1[2−(−
1
2)m−(−
1
2)m+1]=
2
3a1[2−4×(−
1
2)m+2+2×(−
1
2)m+2]=
4
3a1[1−(−
1
2)m+2],
∴2Sm+2=Sm+Sm+1.
∴当q=−
点评:
本题考点: 等差数列与等比数列的综合.
考点点评: 本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力
1年前
你能帮帮他们吗