（2012•怀柔区二模）已知抛物线y=x2+（2m-1）x+m2-1（m为常数）．

（1）由题意可知，△=（2m-1）²-4（m²-1）=5-4m＞0，
又∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，
∴5-4m为平方数，
设k²=5-4m，则满足要求的m值为1，-1，-5，-11，-19…
∴满足题意的m为整数值的代数式为：-n²+n+1（n为正整数）．
（2）∵抛物线顶点在第三象限，
∴只有m=1符合题意，
抛物线的解析式为y=x²+x．
（3）∵点M（x₁，y₁）与N （x₁+k，y₂）在抛物线y=x²+x上，
∴y1＝x12+x1，y2＝(x1+k)2+x1+k，
∵y₁=y₂，
∴x12+x1＝(x1+k)2+x1+k，
整理得：k（2x₁+k+1）=0，
∵点M、N不重合，
∴k≠0，
∴2x₁=-k-1，
∴x12•
16
k+1+6x1+5−k=
(k+1)2
4•
16
k+1−3(k+1)+5−k=6．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题属于二次函数的综合题，涉及了一元二次方程的判别式的知识，及整体思想的运用，难度较大，解答第一问的难点在于求出满足题意的m整数值的代数式．