如图，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中AA 1 =AD=1，E为CD中点．

（I）以A为原点，

AB ，

AD ，

AA 1 的方向为X轴，Y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D ₁ （0，1，1），E（
a
2 ，1，0），B ₁ （a，0，1）
故

AD 1 =（0，1，1），

B 1 E =（-
a
2 ，1，-1），

AB 1 =（a，0，1），

AE =（
a
2 ，1，0），
∵

AD 1 •

B 1 E =1-1=0
∴B ₁ E⊥AD ₁ ；
（II）假设在棱AA ₁ 上存在一点P（0，0，t），使得DP ∥ 平面B ₁ AE．此时

DP =（0，-1，t）．
又设平面B ₁ AE的法向量

n =（x，y，z）．
∵

n ⊥平面B ₁ AE，∴

n ⊥B ₁ A，

n ⊥AE，得

ax+z=0

ax
2 +y=0 ，取x=1，得平面B ₁ AE的一个法向量

n =（1，-
a
2 ，-a）．
要使DP ∥ 平面B ₁ AE，只要

n ⊥

DP ，即有

n •

DP =0，有此得
a
2 -at=0，解得t=
1
2 ，即P（0，0，
1
2 ），
又DP⊈平面B ₁ AE，
∴存在点P，满足DP ∥ 平面B ₁ AE，此时AP=
1
2
（III）连接A ₁ D，B ₁ C，由长方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 及AA ₁ =AD=1，得AD ₁ ⊥A ₁ D．
∵B ₁ C ∥ A ₁ D，∴AD ₁ ⊥B ₁ C．
由（I）知，B ₁ E⊥AD ₁ ，且B ₁ C∩B ₁ E=B ₁ ．
∴AD ₁ ⊥平面DCB ₁ A ₁ ，
∴AD ₁ 是平面B ₁ A ₁ E的一个法向量，此时

AD 1 =（0，1，1）．
设

AD 1 与

n 所成的角为θ，则cosθ=


AD 1 •

n
|

AD 1 ||

n | =
-
a
2 -a

2
1+
a 2
4 + a 2
∵二面角A-B ₁ E-A ₁ 的大小为30°，
∴|cosθ|=cos30°=

3
2 即
-
a
2 -a

2
1+
a 2
4 + a 2 =

3
2 ，解得a=2，即AB的长为2

1年前