已知函数f（x）=1-5x•a5x+1，x∈（b-3，2b）是奇函数．

解题思路：（1）由于函数f（x）是奇函数，且f（0）有意义，则f（0）=0，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到a，b；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立；
（3）运用奇函数的定义和函数f（x）是区间（-2，2）上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．

（1）∵函数f(x)＝1−
a•5x
5x+1，x∈（b-3，2b）是奇函数，
∴f(0)＝1−
a
2＝0，且b-3+2b=0，
即a=2，b=1．
（2）证明：由（ I）得f(x)＝1−
2•5x
5x+1＝
1−5x
5x+1，x∈（-2，2），
设任意 x₁，x₂∈（-2，2）且x₁＜x₂，
∴f(x1)−f(x2)＝
1−5x1
5x1+1−
1−5x2
5x2+1＝
2(5x2−5x1)
(5x1+1)(5x2+1)，
∵x₁＜x₂∴5x1＜5x2∴5x2−5x1＞0
又∵5x1+1＞0，5x2+1＞0
∴
2(5x2−5x1)
(5x1+1)(5x2+1)＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）是区间（-2，2）上的减函数．
（3）∵f（m-1）+f（2m+1）＞0，
∴f（m-1）＞-f（2m+1）
∵f（x）奇函数∴f（m-1）＞f（-2m-1）
∵f（x）是区间（-2，2）上的减函数
∴

m−1＜−2m−1
−2＜m−1＜2
−2＜2m+1＜2即有

m＜0
−1＜m＜3
−
3
2＜m＜
1
2
∴-1＜m＜0，
则实数m的取值范围是（-1，0）．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性的定义和判断，以及运用解不等式，注意定义域，考查运算能力，属于中档题和易错题．