线形代数 设A是n(n>=1)阶矩阵,若r(A)=1,证明A的n个特征值λ1=a11+a22+...+ann,λ2=3=

因为A的秩等于1,所以A的行向量中有一非零行 (记为α,不妨记为列向量)
且其余行都是它的倍数.将这些倍数构成列向量β,β≠0
则有 A=βα^T.
如:A =
2 4 6
1 2 3
0 0 0
取 α=(1,2,3)^T,则 β=(2,1,0)^T,且 A=βα^T.
注意到 α^Tβ 是两个向量的内积,是一个数 (上例中等于 4)
所以有 Aβ = (βα^T)β = (α^Tβ)β
所以α^Tβ是A的一个特征值,β是A的属于这个特征值的特征向量.
再由r(A)=1知,齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量
综上知 0 是A的n-1重特征值,即有 λ2=...=λn=0.
所以有 a11+a22+...+ann = λ1+λ2+...+λn = λ1.